Dowody algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez 14.

Wykaż, że liczba $2501^4 - 2499^4$ jest podzielna przez $10000$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $5$.

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że liczba $2^{100} + 4^{49} + 16^{24}$ jest podzielna przez $21$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Wykaż, że liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez $31$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $5n^3 - 5n$ jest podzielna przez $30$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2 + 4n + 1$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $3n^3 + 18n^2 + 15n$ jest podzielna przez $6$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^{2}+7k-2$ przez $7$ jest równa $5$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $(2n+1)^{2}-1$ jest podzielna przez $8$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n \ge 0$ liczba $7^{n}+7^{n+1}+7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$.

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^{2}+6n+15$ jest podzielna przez $12$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $5n^{2}+15n$ jest podzielna przez $10$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $10n^{2}+30n+8$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^{2}+2023$ jest podzielna przez $8$.