Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, -2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x + 1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -16x^2 + 40x + 11$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $C$. Ta parabola przecina oś $Ox$ w punktach $A$ oraz $B$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2, 15)$. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x = -1$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3)$.

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) - 3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1 + x_2$ jest równa ........ .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3)$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3, 0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, -9)$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x) - 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3, 0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, -9)$.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji $f$ zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ......... oraz ......... .

A.$f(x) = -x^2 - 9$

B.$f(x) = -(x-3)^2$

C.$f(x) = -(x+3)^2$

D.$f(x) = -x^2 + 6x - 9$

E.$f(x) = -x^2 - 6x + 9$

F.$f(x) = -x^2 - 6x - 9$

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3, 0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, -9)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) \geq 0$ jest przedział ............................. .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x+1)^2 + 4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ dokładnie dwa punkty wspólne: $M = (0, 18)$ oraz $N = (3, 0)$.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (x - 13)^2 - 256$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $(\boldsymbol{-}3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Funkcje $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ oraz $F$ są określone dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział $(\boldsymbol{-}\infty, 2]$ jest zbiorem wartości funkcji ............ oraz ............ .

A) $A(x) = -(x - 3)^2 + 2$

B) $B(x) = x^2 + 2$

C) $C(x) = -5(x - 2)^2$

D) $D(x) = (x - 2)^2$

E) $E(x) = 2x^2 - 8x + 10$

F) $F(x) = -2x^2 + 4x$

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(\boldsymbol{-}5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$-tego dnia opisuje funkcja

$\displaystyle L(n)=-n^{2}+22n+279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n\ge 1$ i $n\le 30$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^{2}-kx+6$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(\boldsymbol{-}3, 7)$.

Liczba $t$ spełnia warunki $f(t)=f(\boldsymbol{-}9)$ oraz $t\neq -9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $t$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(\boldsymbol{-}3, 7)$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x)=f(x-5)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2(x-2)^{2}+4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2(x-2)^{2}+4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji $f$ zapisanym w postaci ogólnej jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, ma współrzędne $(5, -3)$. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych ma współrzędne $(4, 0)$.

Zapisz zbiór wszystkich wartości funkcji $f$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, ma współrzędne $(5, -3)$. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych ma współrzędne $(4, 0)$.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-(x-1)^{2}+2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-(x-1)^{2}+2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Wyznacz i zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności

$\displaystyle f(x)\le 0$

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.