Planimetria: wielokąty

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$, $l$, $m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA| = 12$, $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $OD$ ma długość

Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu $1$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole zacieniowanej figury jest równe

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątna $AC$ tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta $DAB$.

Wykaż, że w tym trapezie miara kąta $DAB$ jest równa $60^\circ$.

Kwadrat $K_2$ jest podobny do kwadratu $K_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu $K_1$ jest równa

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $7{,}5$. Krótsza przekątna $AC$ ma długość równą $6$ i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość równą $12$. Punkt $S$ jest środkiem boku $BC$ tego kwadratu. Na odcinku $AS$ leży punkt $P$ taki, że odcinek $BP$ jest prostopadły do odcinka $AS$.

Oblicz długość odcinka $BP$. Zapisz obliczenia.

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB| = 8$ oraz $|CD| = 5$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB| = 12$ oraz $|CD| = 6$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $24$. Na odcinku $AD$ leży punkt $E$ taki, że $|\angle BEA| = |\angle CED|$ (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka $BE$. Zapisz obliczenia.

Dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S$. Średnica $AB$ tego okręgu przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Ponadto: $|PB| = 4$, $|PC| = 8$ oraz $|PD| = 5$.

Oblicz promień okręgu $O$. Zapisz obliczenia.

W rombie $ABCD$ dłuższa przekątna $AC$ ma długość $12$ i tworzy z bokiem $AB$ kąt o mierze $30^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole rombu $ABCD$ jest równe

Trapez $T_1$, o polu równym $52$ i obwodzie $36$, jest podobny do trapezu $T_2$. Pole trapezu $T_2$ jest równe $13$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu $T_2$ jest równy

Koło ma promień równy $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $30^\circ$ jest równy

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$, w którym podstawa $CD$ ma długość $6$, ramię $AD$ ma długość $4$, a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$. Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$, przy czym $|BC|=4$ i $|CD|=3$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $AB$ jest równa

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150^{\circ}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

W trapezie równoramiennym $ABCD$ przekątna $BD$ ma długość $39$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ taki kąt ostry $\alpha$, że $\displaystyle \cos\alpha=\frac{12}{13}$.

Różnica długości podstaw $AB$ i $CD$ tego trapezu jest równa $40$.

Oblicz długość ramienia $AD$ tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $8$. Z wierzchołka $A$ zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe

Przekątne równoległoboku $ABCD$ mają długości $|AC|=16$ oraz $|BD|=12$. Wierzchołki $E$, $F$, $G$ oraz $H$ rombu $EFGH$ leżą na bokach równoległoboku $ABCD$ (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Oblicz długość boku rombu $EFGH$. Zapisz obliczenia.

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $ABE$ jest równe

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka $AE$ jest równa

Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$ oraz przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa $12$. Obwód trójkąta $ABO$ jest równy $39$, a obwód trójkąta $CDO$ jest równy $13$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa