Trójkąty

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC| = 2$ i $|AC| = 2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\displaystyle \frac{a}{b}$.

W okrąg $O$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $T$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta $T$ ma długość ......... .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną oraz $|AC| = 6$. Tangens kąta $BCA$ jest równy $\displaystyle \frac{3}{2}$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek $AB$ ma długość

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek).

Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\displaystyle \frac{4}{7}$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=11$, $|BC|=12$ oraz $|\angle ABC|=60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ przez $\beta$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\beta$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ przez $\beta$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC| = \sqrt{15}$ i $|BC| = 8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD| = 6$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego $ADC$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC| = \sqrt{15}$ i $|BC| = 8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD| = 6$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta ostrego $ABC$ jest równy

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$, $|LM| = b$ oraz $a \neq b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN| = c$, $|NL| = d$ oraz $|MN| = e$ (zobacz rysunek).

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 6$, $|AC| = 4$ oraz $|\angle CAB| = 60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 6$, $|AC| = 4$ oraz $\angle CAB = 60^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $BC$ trójkąta $ABC$ jest równa

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 5$, $|AC| = 2$ oraz $\displaystyle \cos|\angle BAC| = \frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $BC$ tego trójkąta jest równa

W trójkącie prostokątnym $ABC$ sinus kąta $CAB$ jest równy $\displaystyle \frac{3}{5}$, a przeciwprostokątna $AB$ jest o $8$ dłuższa od przyprostokątnej $BC$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta jest równa

W trójkącie $ABC$ długość boku $AC$ jest równa $3$, a długość boku $BC$ jest równa $4$. Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek $|AD| : |DB|$ jest równy

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30^{\circ}$, $45^{\circ}$ oraz $105^{\circ}$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe odpowiednio $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ...................... oraz ...................... .

A) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c$

B) $\displaystyle \frac{1}{4}\cdot a\cdot c$

C) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$

D) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c$

E) $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot b\cdot c$

F) $\displaystyle \frac{1}{4}\cdot b\cdot c$

Trójkąty prostokątne $T_{1}$ i $T_{2}$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_{1}$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_{2}$ ma długość $26$.

Oblicz pole trójkąta $T_{2}$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{4}$.

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$.

Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$.

Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$.

Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB|=6$, $|BC|=4$ oraz $|BD|=2$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $DE$ ma długość

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|$.

W prostokątnym trójkącie równoramiennym przeciwprostokątna ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód tego trójkąta jest równy

Trójkąt $ABC$ o bokach długości $|AB|=6$, $|AC|=9$ i $|BC|=12$ jest podobny do trójkąta $KLM$ o obwodzie $36$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najkrótszy bok trójkąta $KLM$ ma długość

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|AD|=4$ i $|OD|=|BC|=6$. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka $OC$ jest równa

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=4$, $|AB|=3$, $\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{4}{5}$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6$, $7$ oraz $8$.

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4$, a bok $BC$ ma długość $4{,}6$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ takim, że $|AD|=3{,}2$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $CD$ ma długość

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|BC|=5$, $|AC|=10$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO|=5$, $|BO|=3$, $|OC|=10$, $|\angle OAB|=|\angle OCD|$ (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku $OD$ trójkąta $ODC$. Zapisz obliczenia.